$2^{\mathbb{N}} \setminus \{\mathbb{N}\} = \{ S_1, S_2, \ldots \}$と番号が付けられると仮定する。すると、${S_1}^c, {S_2}^c, \ldots$たちはどれも空集合ではない$(A^c := \mathbb{N} \setminus A)$。

これより、$e_1 \in {S_1}^c, e_2 \in {S_2}^c, \ldots$と${S_1}^c, {S_2}^c, \ldots$たちそれぞれから元を一つずつ取り、

$S:=\{e_1, e_2, \ldots \}$